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人类对几何的认识大致可以分为从雅意识几何到实验几何，再到推理几何这样一个过程。它的发展是不断被完善而非被推翻或改革的，伴随这一过程的是人类思维的不断进步与成熟，但也有不少的曲折和弯路需要我们去注意。本文将对小学数学空间与图形一部分内容进行数学史渗透教学研究，理清空间与图形知识的发展脉络，为小学数学教学提供一定的参考。
一、数学史与数学教育之间的相互联系
在数学教学中渗透数学史这一课题早已在全球范围内开展，从国际HPM研究，到各国成立HPM研究小组，再到我国全国数学史与数学教育会议的召开，可以说数学史在数学教育中的运用研究是较为成熟的。
在生物学上，德国生物学家海克尔于19世纪提出生物发生学定律即个体成长重演种系历史，又名重演说。许多数学家认为可将这一定律移植到数学教育中，而后Byers、Shcubring、桂德怀等人也在各自研究中证明了学生学习认知过程以及认知障碍、出现的错误等与数学发展史有着密切的联系。根据这一研究，笔者认为学生学习数学的过程是人类创造、发展数学过程的凝缩版，可以利用“再创造”把数学史融入数学教育中。
如何在数学教育中运用好数学史是此类研究的重点，最常见的方法包括引用数学家轶事、利用数学史导入数学概念，讲授数学名题，或者通过数学案例讲解解题技巧，用数学中的著名错误帮助学生克服困难等。也有根据数学文献设计习题，让学生通过制作有关数学史的板报、专题，甚至用戏剧来进一步加深对数学理解的方法。更有比较大型的项目，如渗透历史发展观，依据数学史设计课程或者开设数学史课程等等。
二、小学数学空间与图形中数学史资源的分析与开发
新课程标准将原来的几何学改为空间与图形，并对其定位为“主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置及其变换，它是人们更好的认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。”意在强调数学模型的构建，能够让学生从原有生活经验出发，通过动手操作、观察等一系列实践活动，让学生抽象或者再创造出某些空间概念、理论和方法。因此我们可以从人类学习数学、研究数学的历史中得到一些教学启示。
1．数学史在“图形的认识”中的渗透
几何图形的形成大部分来自于人们对自然界或者自身的观察与认识。人们在人或物体移动过程中的路径、射击时对准的方向等事物上发现了直线的概念。通过观察，发现太阳、月亮是圆的；后来创造了有轮子的车辆，圆的概念开始为人们所认知。当人行动时，上下手臂或者大小腿之间就构成了角。各种多边形概念源自于土地的测量等等。可见，人类对几何的认识是从人自身、自然界或者劳动经验中产生的并逐步抽象出来的。在小学阶段，学生的思维依赖于具象，而事实上许多图形概念都是从三维图形中抽象出来的，与实际生活有着密切的联系。基于此，我们可以尝试让学生能够从现实三维图形中抽象出平面图形，这也与学生的认知规律相符合。
2．数学史在“测量”中的渗透
（1）长度
最开始的时候，人们只会比较几个量之间的大小、长短关系，而后开始发现这种比较在一定程度上有局限性，于是人们开始选定自身的某一部分或者彼此之间的距离作为计量标准，这样就产生了计量的单位。但在后来的发展中，由于这种度量有一定的误差（比如身体差异，行走速度不同等），从而开始产生统一的度量单位。
例如，人教版小学数学教材在“认识长度单位”一节上，基本是按长度度量的发展史来编排的，教材中首先让学生利用长度相同的物体进行测量，直接跳过用人的身体进行衡量的环节。笔者认为教学过程中，可以先安排学生用自己身体的某一部分来进行测量，引导学生发现这种测量的不足之处，进而发现统一度量单位的重要性，之后逐渐引入用物体或方格子作度量标准。通过这些环节，学生可以从自身观察世界，对以后的估测也有一定帮助。
再如圆周长是围成圆的曲线长度，教材所给方法为绕线法和滚圆法，与早期的圆周测量方法相同。在对圆的周长进行求解时，很容易发现直径的变化会引起周长的变化，于是就出现了求圆周长和直径之间的比值，之后人们发现求圆内（外）接正多边形周长的方法可使圆周更加精确，不管是阿基米德还是刘徽，运用的都是此种方法，但其算法复杂，未被采用。但笔者认为可以考虑让学生适当接触极限思想。
（2）面积
首先看多边形的面积。从史料来看，不管是古代中国还是古埃及，对面积的测量或是运用都是以正方形作为测量标准的图形。教材中，面积的学习首先是使用网格图来数，这与之后的网格作图等都有着密切的联系。用网格法很容易表示出长方形面积，其他四边形的面积则可以通过转化为长方形得到。
其次看圆的面积。我国古代求圆面积主要是以直代曲的思想，刘徽极好地利用了极限思想创立割圆术。那么试想，如果我们在之前的学习中有意雅意渗透一些极限思想，是否会比让学生一下子去运用极限思想来解题好一些呢？教材所述方法尽管与刘徽所用方法不尽相同，但都是基于同一思想的：把圆等分为若干扇形，排列成矩形，分的扇形越多越接近矩形。如前所述，不少图形的面积都是由这种转化思想来进行求解的，教材中也有辅助这种思想理解的一些内容安排，比如有好几个课时是关于图形拼组和变换的。
（3）体积和容积
原始的容积单位源自于人体，如古时所用单位“溢”，指一手所捧之量。另有不少容量单位源自容器。
因水利工程的需要，我国较早便开始了对体积的研究，《九章算术》中记载体积的求解方法：把体积为二尺七寸的立方体转化为底为单位正方形，高度为二尺七寸的直棱柱，最终结果用高度数来表示。与现在我们用1个立方体作为体积单位有着异曲同工之妙。这与面积的求解着实相似，但是在体积求解过程中，我们并没有一个像网格线那样的辅助工具，这时候就必须善于利用学具中的小立方了。另外，提到体积可能会想到阿基米德的皇冠，这个事例说明物体占据一定空间，那么，在求解不规则物体面积或者如圆锥体之类的体积时，是否可以充分利用这类小故事来进行启发，充分调动学生的积极性？
（4）角的测量
我国古代人们更重视数学的实用性，对角的度量始终没有统一过，只出现一些常用特殊角的表示。而在美索不达米亚，人们把圆周分为3 0等分，对于此，一说是因为3 0因数多易于均分；另一说其是由苏美尔文化中的距离单位和时间单位巴比伦里发展形成的：一天等于12个巴比伦里，又等于天空转一周，即把一个完整圆周等分为12份，再把每份分为30等分。虽然这并不是教学内容，但教师必须有所了解。在教学过程中，我们可以尝试从我国古代角度测量中找到启示――对特殊角进行分割，如易玫老师在《角的度量》一课中很好地展示了这一方法。
3．数学史在“图形的位置”中的渗透
（1）方位与方向
太阳每天从同一个地方升起，又从同一个地方降落，这是较容易被感知到的，如此便产生了东与西的方位概念。在发展过程中，人类对自身的左右表述要早于以其他事或物为参照的表述，而左右的发展是在与实体相连的基础上建立起来，后来才逐步脱离实体成为一个抽象的方位名词。教学中选择什么作为参照物是很重要的一点，否则将引起知识的混淆。另外还要遵守学生认知过程，即由对自身的认识逐渐发展到对他人的认识。
（2）点与坐标
点是几何学中的一个基本概念，早在古希腊便已出现将线段或者有限空间看成是由众多不可分的原子构成的数学方法，我国《经说上》也有“体，若二之一，尺之端也”这一说法。然而这又是较难理解的一部分，因为这之中又渗透着极限思想。小学教材中并没有提出点的概念，但不能说没有涉及，极限思想其实在生活中也是存在的。
“图形的位置”这一部分教学内容中主要包含的是数形结合和对应的思想。早在千年以前，埃及人便开始使用直角坐标系来确定土地，古代地图经纬度的绘测也与它有关。前文之所以提到点的概念，是因为坐标系教学中用数对来表示点，用点来表示位置，学生之前已经接触过用简单的方位表示位置，此时再加入已熟悉的网格和已有初步印象的数对，这与以坐标系来绘测经纬度有些类似，因此若在教学中利用好一些常用地图，可对以后的坐标系教学提供帮助。
三、关于在小学数学教学中渗透数学史的一些建议
尽管学生的认知发展在一定程度上与数学史的发展相似，但要注意的是，数学史与数学教育的整合只不过是众多教学方法中的一种，并不能在整个教学过程中起主导作用。当出现数学史发展方向与学生认知有所冲突时，教师更应该谨慎。
首先，教师需要理清发展脉络，把握整体。必须认识到在历史上，数学是一门不断积累起来的学科，数与形并不是各行其道地发展，因此，教师有必要明白数学史的发展脉络，从整体上把握好数与形的整体性，这种整体性在教材中的表现是，后面的知识点与前面的一些知识点有所联系，我们可以从历史发展的观点，把握每一个已成熟的知识点的发展道路及其前身，让学生顺着这一思路去再创造。
其次，尊重学生认知范围，适当选择教学素材。必须注意，当今社会与古时候各方面的发展大相径庭，学生的知识经验组成也与人类初期不一样，因此，在选择让学生体会知识生成过程中需要接触的经验时，教师的选择也必须符合学生的认知观念。还要注意到，在一些问题的求证上，我们必须审视学生的认知范围，比如在圆周一课上，我们可以适当介绍割圆术，但不建议深入，并且这一段更适合在课后的教学中讲授，否则易引起学生的认知混乱。
再次，教师必须明确数学史使用的目的，摆正数学史观。利用数学史并不是一味地去讲数学故事，这样一方面对本节课不一定有作用，另一方面，可能会打断教学计划，扰乱学生思维。如不少教师会在教授某一知识点时会提到“我国在这方面的发现比欧洲早了几百年（或几千年）”这类历史知识，并不否认我们需要提升爱国情感，但是教师如果能够明白为什么会提早那么多年或者延迟那么多年，是否能够避免一些学生产生认知障碍而跟不上进度呢？在此，笔者比较推崇的做法是引导学生重新亲身经历历史事件，教师在这一过程中可适当穿插一些历史知识，引导学生去做下一步。
另外，要运用好数学史，还必须找准嵌入时机。常见的有课前引入或者在讲完某一知识点的时候带过讲解，也有在一节课的最后介绍数学史知识的。如果我们通过让学生再创造，之后让他们自己意识到自己经历前人或者历史名人所做的一样的事情，相信会让学生对学习数学更有兴趣和信心；也可以让学生去改正著名历史错误，让他们能够有一种成就感，同时会去注意自己学习中也可能会出现这种错误。或者在课后介绍数学史，让学生们去寻找历史上对某一问题的不同解法或者留下历史名题让学生课后学习也是不错的选择。另外，数学兴趣小组也是一个很好的使用场所，在兴趣小组中运用数学史讲课一方面是为学生在解决难涩的问题时激发他们的兴趣，另一方面也是为了能让他们在解题时受到启发。
最后，我们还要以发展的眼光看待数学，让数学具有人文性。在教学中，教师必须掌握好学生已有的知识经验，及时更新教学素材，将新的教学理念或教学内容融入到教学计划当中。除此之外，教师也要适当了解数学的未来发展方向，以对当前教育有一个大致的引领。教师可以充分运用一些数学故事来对学生进行启迪教育，让学生学到数学知识的同时能够在精神层面有所提高，发挥数学的人文性。
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发表于 2020-8-12 14:06:23
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