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题目：
雅宝题库答案：
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雅宝题库解析：
求解多项式方程(组)作为符号计算的核心题目, 在科学和工程领域中应用广泛. 本文的研究与此题目密切相关, 主要包括三个方面的工作: 给出计算特征列的新算法框架, 研究有限域上的多项式集的简单分解, 以及使用代数方法分析离散生物系统的稳定性.为设计高效的特征列算法, 第三章首先推广特征列的概念, 将特征列定义中原有的条件减弱, 但仍保持其最重要的性质. 有了该定义, 我们就能在计算特征列的过程中维护一个与输入集生成相同理想的多项式集合. 随着计算的进行, 该多项式集往往比输入的集合更"接近于"所要计算的特征列, 从而可以减少最后验证计算结果是否为特征列所花费的时间(在吴方法中, 这个验证时间占总计算时间的很大部分). 通过引入多种容许约化, 新给出的算法框架可以控制中间多项式的系数膨胀. 与吴特征列算法相比, 我们给出的算法实现除了使用伪除之外, 还引入如一元GCD约化、除法约化、一步伪除约化和子结式多项式余式序列约化等其他约化. 实验结果表明新给出的特征列算法具有更高的计算效率与更简单的输出结果.第四章给出简单列的一个更一般的、 更代数化的定义, 并证明相关性质. 算法方面, 我们首先考虑有限域上零维多项式集的简单分解. 为了设计此算法, 我们以有限域上一元多项式的无平方分解算法为基础, 给出由简单列确定的域的Descartes积上的多项式的无平方分解算法. 在此推广中, 域的Descartes积中元素的p次根的计算是一个关键步骤. 我们通过递归地求解域的Descartes积上的一系列线性代数方程组来获得p次根. 基于上述准备工作, 我们给出有限域上的三种简单分解算法并通过计算实验比较它们的效率.在第五章中, 我们分别以Matsumoto和Kemper的求根方法为基础, 给出有限域上一般(包括零维和正维)多项式集的两种简单分解算法. 计算实验表明对于零维情形,基于Matsumoto求根的简单分解算法是非常低效的, 而基于Kemper求根的简单分解算法的效率与前述三种简单分解算法的效率是可比的. 对于正维情形, 基于Matsumoto求根的简单分解算法与基于Kemper求根的简单分解算法相比各有优劣, 其效率甚至相差很大.离散生物系统可以用符号计算方法来进行稳定性分析, 这是第六章讨论的主要题目. 我们首先给出检测离散动力系统平衡点的方法, 然后介绍广义Routh-Hurwitz判据、Schur-Cohn判据和Jury判据来判定指定平衡点的稳定性, 并给出系统可能出现Neimark-Sacher分岔、倍周期分岔和静态分岔的必要条件. 我们将这些题目转化为方程求解、量词消去、实根隔离和实解分类等符号计算题目, 然后利用代数方法进行求解. 对几个离散生物系统的稳定性和分叉分析的计算实验说明本文所给方法的有效性. 最后, 我们还对检测有限动力系统的平衡点进行了初步探索. |
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发表于 2022-5-24 18:24:57
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