离散双线性系统可控性与临近可控性研究—一种隐函数方法

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雅宝题库解析：
一非线性系统，若其关于状态和控制分别是、但不同时是线性的，则称之为双线性系统。双线性系统是一类特殊的非线性系统，广泛存在于现实世界中，如工程、经济、生物、生态等领域，被认为是最接近于线性系统的非线性系统。用双线性系统逼近非线性系统具有比线性系统更准确、更精确的效果。因此，双线性系统具有重要的理论价值与应用价值。    对双线性系统的研究已历经了近半个世纪。双线性系统理论也已成为非线性系统理论的一个重要分支。作为系统最基本的属性，双线性系统可控性的研究一直以来是热点和难点。一方面是由于双线性系统的重要性，另一方面则是由于可控性的重要性，即可控性是控制学科中的基本概念，并在数学控制理论中发挥着重要的作用。对连续双线性系统可控性的研究始于上世纪六十年代末，在上世纪七十年代中取得了丰富的成果，七十年代之后仍是热点。其研究得益于李群、李代数理论的应用。而对离散双线性系统可控性的研究，成果则相对较少。自上世纪八十年代中期至本世纪初，专门讨论离散双线性系统可控性的文献几乎没有。究其原因在于控制与状态耦合所导致的非线性，使得离散双线性系统的可控性题目很复杂，较难处理。另一方面，由于离散系统与连续系统有本质的不同，离散系统的代数结构远不如连续系统丰富，使得许多数学工具无法较好地应用。    本论文主要研究离散双线性系统可控性与临近可控性。首先，论文提出了一种研究离散系统可控性的隐函数方法，并将其成功运用于离散线性时不变系统。这种方法的思想来源于现实世界，具备充分的物理意义，是对现实世界一些现象的归纳、总结，并升华到了哲学层面。其次，论文提出了临近可控性的概念，用以描述具有很大可控域的系统。临近可控性是包含了可控性的更广泛的概念，可以更全面地描述系统的性质。基于提出的隐函数方法，论文研究了两类离散双线性系统的可控性与临近可控性，并将得到的可控性与临近可控性结果用于研究这两类系统的镇定性。最后，论文讨论了Euler离散化对系统可控性与镇定性的影响。    本论文的两大创新点是：    1.        对于离散系统可控性题目，提出了一种隐函数方法。这种方法提供了一条明确的研究离散系统可控性的思路，对离散系统可控性的研究具有指导意义；    2.        提出了临近可控性的概念，该概念是包含了可控性的更广泛的概念。指出了临近可控性是系统的基本属性，可以更全面地描述系统的性质。    本论文的主要成果归纳如下：    1.        应用隐函数方法，研究了离散系统可控性，给出了三个定理；    2.        将隐函数方法应用于离散线性时不变系统，并得到了更广泛的结论；    3.        对两类无法用现有结果判断可控性的离散双线性系统，应用隐函数方法，解决了这两类系统的可控性题目，给出了系统可控的充要条件；    4.        应用隐函数方法，研究了这两类系统的临近可控性，在系统矩阵仅含实特征值情况下给出了系统临近可控的充要条件；    5.        利用得到的可控性与临近可控性结果，研究了这两类系统的镇定性；    6.        利用得到的可控性与临近可控性结果，分别给出了Euler离散化改变非线性系统可控性与镇定性的实例，证明了Euler离散化可能改变也可能不改变非线性系统的可控性与镇定性。