球面上点分布题目的一些研究

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雅宝题库解析：
本文探讨了欧几里得球面上点的分布题目，该题目的魅力如此之大在于它很容易理解，但在大多数情况下却很难解决。Tammes题目是最大化#空间单位球面上n个点两两之间的最小距离(这里距离为欧几里得距离)。它与一些在组合优化中很难的装箱题目密切相关，它也是Hiriart-Urruty在优化与矩阵分析领域的一系列新的猜想和开放性题目中罗列的9个公开题目的第5个。题目困难之处在于这是一个非凸规划题目，有多个局部极小点，而且目标函数不光滑，因而寻找全局最小非常困难。对于三维题目，人们目前仅仅知道n ≤ 12或n = 24时的精确解。本文内容主要分为以下几部分：(i) 文章首先介绍了单位球#上点的定义和基本性质， 了解到球面上点的最好上界通常是通过线性规划技术获得的，基本思想来源于Delsarte， 并着重介绍了线性规划界及Levenshtein界的性质。(ii) 接下来探讨了#空间上n点Tammes题目的半正定规划松弛， 得出#上n点Tammes 题目的半正定规划松弛， 其形式与d无关， 并证明其最优值等价于Rankin第一上界，进一步，证明了该半正定规划解唯一， 且秩为n − 1，从而半正定松弛对且只对#上n ≤ d + 1点Tammes题目是紧的。针对d = 3的情形，研究了解的渐近性质，揭示了半正定规划松弛的渐近弱性。(iii) 最后，从博弈论的角度研究Tammes题目，首先建立#上n点Tammes题目的纳什均衡， 并证明Tammes题目的全局最优解即是Tammes题目的纳什均衡点。进一步证明了迭代局部搜索算法所求得的局部最小点就是纳什均衡点，并以此作为Tammes题目的近似最优解。本文建立了局部迭代搜索算法并编程实现，证明了算法具有收敛性，数值实验表明算法是有效的，当然还需要进一步的改进。