20年春福师《实变函数》在线作业二（答案参考）

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【奥鹏】-[福建师范大学]福师《实变函数》在线作业二
试卷总分:100    得分:100
第1题,R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
A、错误
B、正确
正确答案:


第2题,f,g∈M(X),则fg∈M(X).
A、错误
B、正确
正确答案:


第3题,若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n=g_n，a.e.,n=1,2,...,则f=g,a.e.
A、错误
B、正确
正确答案:


第4题,若f可测，则|f|可测，反之也成立.
A、错误
B、正确
正确答案:


第5题,闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.
A、错误
B、正确
正确答案:


第 题,若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
A、错误
B、正确
正确答案:


第1题,若f广义R可积且f不变号，则f L可积.
A、错误
B、正确
正确答案:


第8题,若|f|和f^2都是有界变差，则f为有界变差.
A、错误
B、正确
正确答案:


第9题,若f,g∈AC，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于AC。
A、错误
B、正确
正确答案:


第10题,函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.
A、错误
B、正确
正确答案:


第11题,绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。
A、错误
B、正确
正确答案:


第12题,可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
A、错误
B、正确
正确答案:


第13题,三大积分收敛定理是积分论的中心结果。
A、错误
B、正确
正确答案:


第14题,增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
A、错误
B、正确
正确答案:


第15题,存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .
A、错误
B、正确
正确答案:


第1 题,利用积分的sigma-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。
A、错误
B、正确
正确答案:


第11题,若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。
A、错误
B、正确
正确答案:


第18题,若f,g∈BV，|g|c0,则f/g属于BV。
A、错误
B、正确
正确答案:


第19题,可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|=g.
A、错误
B、正确
正确答案:


第20题,测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.
A、错误
B、正确
正确答案:


第21题,设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
A、错误
B、正确
正确答案:


第22题,f∈BV，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.
A、错误
B、正确
正确答案:


第23题,g的连续点是L点，但L点未必是连续点.
A、错误
B、正确
正确答案:


第24题,集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
A、错误
B、正确
正确答案:


第25题,可数集的测度必为零，反之也成立.
A、错误
B、正确
正确答案:


第2 题,若曲线L由参数方程x=f(t),y=g(t),z=h(t)给定，则L为可度曲线等价于f,h,g∈BV.
A、错误
B、正确
正确答案:


第21题,当f在(0,+∞)上一致连续且L可积时，则lim_{x-+∞}f(x)=0.
A、错误
B、正确
正确答案:


第28题,f∈BV，则f有& uot;标准分解式& uot;:f(x)=f(a)+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.
A、错误
B、正确
正确答案:


第29题,有界可测集的测度为有限数，雅界可测集的测度为+∞
A、错误
B、正确
正确答案:


第30题,f可积的充要条件是f+和f-都可积.
A、错误
B、正确
正确答案:


第31题,函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.
A、错误
B、正确
正确答案:


第32题,若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数.
A、错误
B、正确
正确答案:


第33题,对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.
A、错误
B、正确
正确答案:


第34题,零测度集的任何子集都是可测集.
A、错误
B、正确
正确答案:


第35题,若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.
A、错误
B、正确
正确答案:


第3 题,有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.
A、错误
B、正确
正确答案:


第31题,若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x))也是有界变差.
A、错误
B、正确
正确答案:


第38题,fn-f,a.e.,则
A、fn依测度收敛于f
B、fn几乎一致收敛于f
C、fn一致收敛于f
D、|fn|-|f|,a.e.
正确答案:


第39题,fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0（ ）
A、充分条件
B、必要条件
C、充要条件
D、非充分非必要条件
正确答案:


第40题,设g(x)是[0,1]上的有界变差函数，则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
A、连续函数
B、单调函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
正确答案:


第41题,若A为R^n中一疏集，则（ ）
A、Ac为稠集
B、A为开集
C、A为孤立点集
D、A不完备
正确答案:


第42题,有限个可数集的乘积集是（ ）
A、有限集
B、可数集
C、有连续统势的集
D、基数为2^c的集
正确答案:


第43题,若f∈BV[a,b]，则（ ）
A、f为有界函数
B、Vax(f)为增函数
C、对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)
D、f至多有可数个第一类间断点
正确答案:,B,C,D


第44题,设E为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是
A、是L可测函数
B、不是L可测函数
C、有界函数
D、连续函数
正确答案:,C


第45题,若f∈AC[a,b]，则（ ）
A、f∈C[a,b]
B、f∈BV[a,b]
C、f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
D、f∈Lip[a,b]
正确答案:,B,C


第4 题,在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为雅理数时f(x)=0，则（ ）
A、f在R上处处不连续
B、f在R上为可测函数
C、f几乎处处连续
D、f不是可测函数
正确答案:,B


第41题,若f不可测，g可测，则下列正确的是（ ）
A、f+g不可测
B、fg不可测
C、g^2可测
D、|g|可测
正确答案:,C,D


第48题,设f为[a,b]上增函数，则f为（ ）
A、几乎处处可微
B、L可积
C、f'可积
D、区间[a,b]上积分值∫f'(x)dx=f(b)-f(a)
正确答案:,B,C


第49题,若f,g是有界变差函数，则（ ）
A、f+g有界变差函数
B、fg有界变差函数
C、f/g有界变差函数
D、max(f,g)有界变差函数
正确答案:,B,D


第50题,设f为[a,b]上减函数，则f为（ ）
A、有界函数
B、可测函数
C、有界变差函数
D、绝对连续函数
正确答案:,B,C